Le choix d'Unlimited Blues Time comme patronyme est une façon de rendre un dernier hommage à Claude Joassin. Yves Budot intègre le groupe à la fin de l'année 1979 comme deuxième guitariste. Les concerts sont de plus en plus nombreux et les mènent de plus en plus loin. C'est la formation de rythm'n'blues la plus efficace de l'hexagone: une voix éraillée et puissante, des musiciens accomplis qui prennent un vrai plaisir à jouer, des compositions efficaces signées par Jacques Le Guellec, tout cela leur donne une notoriété qui se confirme à chaque concert. En chaque occasion, UB Time fait l'unanimité. La réputation du groupe commence à s'étendre.

En 1980, ils participent à l'enregistrement de l'album de Nino Ferrer Carmancita, puis en 1981, une tournée de quinze jours en Algérie est organisé dans le cadre d'un échange culturel. Ils se retrouvent à jouer dans des salles remplies de presque autant de policiers (avec la matraque qui démange) que de public (et celui-ci était au rendez-vous..). Ils rentrent à Brest avec le goût amer de la dictature militaire. A l'affiche du festival Elexir à Plomodiern pendant l'été, ils participent à l'organisation de la première Nuit Du Blues à Brest. Le 31 octobre, La Blue Night acceuille le Chicago Blues Festival, Otis Rush et UB Time au parc de la Penfeld. Malgré ces réussites, il leur faut sortir des limites de la Bretagne pour pouvoir conquérir d'autres publics et pour cela, la réalisation d'un album semble être la seule issue.

Enregistré en avril 1981 par Jean-Pierre Boyer au studio DB de Rennes, le disque bénéficie d'une production efficace. Pierre Ploguin (trompette) et René Morizur (sax baryton), des "requins" ayant joué eux aussi avec Johnny et consors, viennent renforcer la section de cuivre. Luther Allison, de passage à Rennes pour un concert est invité à passer au studio d'enregistrement. Il accepte avec plaisir de jouer un solo sur le titre Don't let it fall. Tous les morceaux sont signés par Jacques Le Guellec en dehors d'une reprise de Bill Withers. Le disque est coproduit par DB et distribué sur Paris Album, maison de disque spécialisée dans le blues qui organise une seule opération promotionnelle : une semaine de concerts au Forum des Halles à Paris avec Jean-Jacques Milteau et l'anglais Max Goaltand. Malgré le très bon accueil du public parisien, le manque de soutien réservé au disque ne permet d'en vendre que quelques milliers, principalement sur les concerts. Le potentiel d'un tel disque était pourtant important de par la qualité des titres proposés, de la cohésion du groupe et du renouveau blues en France à l'époque (Bill Deraime, Paul Personne, Little Bob..).

En octobre 1982 a lieu la deuxième "Blues Night" avec BB King, Melvin taylor et Eddy Shaw (accompagnés par UB Time sur leur tournée française), et Zachary Richard. Malgré le prestige d'une telle affiche, le festival n'est pas un franc succès du point de vue des entrées et il n'y a pas de troisième édition.

Les Enfants Du Rock, de passage à Brest en février 1983, s'intéressent évidemment au cas d'UB Time qui est filmé en concert et interviewé. La même année, un autre concert filmé est diffusé un samedi après-midi sur TF1 : 45 minutes de live, impensable aujourd'hui ! Il faut dire que le groupe tourne beaucoup. Sa notoriété lui permet d'ouvrir pour de nombreux bluesmen américains aussi prestigieux que Buddy Guy, BB King, Muddy Waters, Junior Wells, James Brown, Carla Bley, Johnny Winter, Luther Allison…ainsi que de réaliser Real Life du fameux Screamin' Jay Hawkins. UB Time accompagne même Eddie Shaw et Melvin Taylor pour leur tournée française. Il faut attendre 1985 pour la sortie du deuxième album. Enregistré entre mai et juin par Joël Eon à Lannilis , Love Bullet In My Soul ne dispose que d'un petit budget et malgré des qualités indéniables, le disque s'avère moins bon que le précédent. Dédé Grall (Nicolas Cruel, Mr Jean) et l'anglais Nobby Clark (sax, flûte) participent aux sessions et deviennent membres permanents. Kevin et Olga Wright arrangent les textes. La poisse poursuit UB Time qui signe avec Pluriel, petite maison de disque Normande qui ne fait aucune promotion. Le groupe veut alors récupérer ses droits et l'affaire s'arrête aux marches du tribunal.

En 1986, Claude Deborde monte une maison de production à Rennes et prend des contrats avec un certain nombre d'artistes comme Dan Ar Bras, Gérard Delahaye, Hervé Le Nogré ou Mélaine Favennec. Jacques Le Guellec est lui aussi recruté au sein de la Claude Deborde Production Edition sous le pseudonyme de Jack E. Parker (E. pour Elvis). Un 45 tours, en français, est enregistré par Jean-Pierre Boyer aux prestigieux (et hors de prix) studios Off The Track à Paris. Michel Santangelli et Patrick Péron y participent. La Cigale est louée pour la sortie presse, mais la CDPE coule avant la sortie du disque. Jacques n'a que le temps de faire un passage radio chez Viller à France Inter. Claude Deborde réussi malgré tout à sortir sur le marché un live au nom de Jack E. Parker, mais c'est en fait le concert d'adieu d'UB Time, enregistré sur un deux pistes salle Cerdan le 28 novembre 1987. Il est réédité depuis sous le nom d'UB Time Un P'tit Blues Pour La Route. Le groupe, pourtant au fait de sa popularité, est miné par la lassitude et la gestion difficile d'une équipe aussi importante (plus de douze personnes en tout).

Jacques le Guellec monte alors de petites formations, plus légères, avec des musiciens de blues de la région comme Dan Ar Bras (Good Rockin' Dadies, Et V'la Le Travail), DD Grall (Jack Rantaplou, Manish Bo), ou Kevin Wright (Walking Blues, Good Old Boys, ou Phonograph Blues) qui jouent beaucoup dans des cafés concerts un peu partout en France et même en Espagne pour les Manish Boys. Jacques ou Kevin assurent une moyenne de 120 à 160 concerts par an.

Le 10 août 1991, UB Time se reforme exceptionnellement après cinq années d'absence, pour un concert aux Hespérides. Kevin Wright (guitare), Pikey Butler (chœurs) Nobby Clarck (sax) et Frédéric Burgazzi (trombone) intègrent la nouvelle formation, qui reste une attraction recherchée, tant pour le professionnalisme des musiciens que le bonheur de les retrouver sur scène. Quelques mois plus tard, ils jouent en compagnie de Luther Allison pour une soirée salle Surcouf organisée par le CCM. En 1995, les meilleurs titres des trois albums sont réunis sur la compilation Back Of Life et la même année sort un nouvel album Love Dealer sur lequel on retrouve l'esprit qui a animé le groupe durant toutes ces années.

En novembre 1999, le groupe fête ses 30 ans de carrière devant la salle archi comble du Vauban, composée exclusivement de fidèles. Il poursuit aujourd'hui l'aventure sporadiquement, au gré des possibilités, et un nouveau disque est actuellement en préparation.